La successione di fibonacci spiegata ai bambini

Calcolatrice di Fibonacci

Ho letto l'articolo di Wikipedia sugli heap di Fibonacci e ho letto la descrizione di CLRS della struttura dei dati, ma non mi è chiaro perché questa struttura funzioni. Perché gli heap di Fibonacci sono progettati in questo modo? Come funzionano?

Questa risposta sarà piuttosto lunga, ma spero che contribuisca a fornire qualche spunto per capire da dove nasce l'heap di Fibonacci. Presumo che abbiate già familiarità con gli heap binomiali e con l'analisi ammortizzata.

Prima di addentrarci negli heap di Fibonacci, probabilmente è bene esplorare il motivo per cui ne abbiamo bisogno. Esistono molti altri tipi di heap (heap binari e heap binomiali, per esempio), quindi perché ne abbiamo bisogno di un altro?

Il motivo principale è l'algoritmo di Dijkstra e l'algoritmo di Prim. Entrambi questi algoritmi funzionano mantenendo una coda di priorità che contiene i nodi con le priorità associate. È interessante notare che questi algoritmi si basano su un'operazione di heap chiamata decrease-key che prende una voce già presente nella coda di priorità e ne diminuisce la chiave (cioè aumenta la sua priorità). In effetti, gran parte del tempo di esecuzione di questi algoritmi è spiegato dal numero di volte in cui è necessario chiamare decrease-key. Se potessimo costruire una struttura dati che ottimizzi la funzione decrease-key, potremmo ottimizzare le prestazioni di questi algoritmi. Nel caso dell'heap binario e dell'heap binomiale, decrease-key richiede un tempo O(log n), dove n è il numero di nodi nella coda di priorità. Se potessimo ridurre questo tempo a O(1), le complessità temporali dell'algoritmo di Dijkstra e dell'algoritmo di Prim scenderebbero da O(m log n) a (m + n log n), che è asintoticamente più veloce di prima. Pertanto, ha senso cercare di costruire una struttura dati che supporti in modo efficiente il decremento della chiave.

Sequenza di Fibonacci

Come punto di partenza, si consideri il fatto - ormai confermato da un gran numero di studi - che i partecipanti esposti a stringhe prodotte da grammatiche artificiali mostrano di sviluppare una rappresentazione della grammatica basata su regole, essendo in grado, ad esempio, di discriminare tra stringhe grammaticali e non grammaticali (stringhe prodotte da una grammatica e stringhe che non lo sono, rispettivamente), anche se la loro conoscenza rimane generalmente implicita [1]. Questi effetti di apprendimento sono stati riportati in studi condotti su bambini che sono stati in grado di individuare schemi e regolarità distributive di grammatiche artificiali già all'età di 8 mesi [2, 3].

Considerando che l'elaborazione di un linguaggio richiede che il soggetto analizzi o "analizzi" una sequenza di suoni o simboli, che rilevi le regolarità e che estenda le regolarità apprese a nuove sequenze, non sorprende che le capacità di apprendimento implicito siano risultate significativamente correlate alle prestazioni linguistiche [4]. Ciò è stato ulteriormente confermato dall'evidenza neurolinguistica, che ha mostrato come l'elaborazione sintattica degli stimoli linguistici e l'apprendimento sequenziale di schemi di sequenze strutturate condividano gli stessi meccanismi neurali (si veda [5] per uno studio ERP).

Rapporto aureo fibonacci

Di recente ho pubblicato un post su un nuovo hash table, e ogni volta che faccio qualcosa di simile, imparo almeno una cosa nuova dai miei commenti. Nella mia ultima sezione di commenti Rich Geldreich parla della sua tabella hash che utilizza il "Fibonacci Hashing", di cui non avevo mai sentito parlare prima. Ho lavorato molto sulle tabelle hash, quindi pensavo di aver sentito almeno tutti i trucchi e le tecniche più importanti, ma so anche che ci sono così tante piccole modifiche e miglioramenti che non è possibile conoscerli tutti. Ho pensato che questo potesse essere un altro piccolo trucco da aggiungere alla collezione.

Ho scoperto che mi sbagliavo. Questo è un grande trucco. E tutti dovrebbero usarlo. Le tabelle di hash non dovrebbero avere le dimensioni di un numero primo e non dovrebbero usare un modulo intero per mappare gli hash negli slot. L'hashing di Fibonacci è semplicemente migliore. Eppure nessuno lo usa e molte grandi tabelle hash (incluse tutte le grandi implementazioni di std::unordered_map) sono molto più lente di quanto dovrebbero essere perché non usano l'hashing di Fibonacci. Cerchiamo quindi di capire come funziona.

Equazione della sequenza di Fibonacci

è una delle sequenze di numeri più famose in assoluto. Vi abbiamo dato i primi numeri, ma qual è il successivo? La risposta è semplice. Ogni numero della sequenza di Fibonacci (a partire da ) è la somma dei due numeri che lo precedono:

Il Fibonacci prende il nome dal matematico Leonardo Fibonacci che vi si imbatté nel XII secolo mentre contemplava un curioso problema. Fibonacci partì da una coppia di coniglietti immaginari e poco credibili, un coniglio maschio e una femmina.

Fibonacci si chiese quanti conigli una singola coppia può produrre dopo un anno con questo processo di riproduzione altamente incredibile (i conigli non muoiono mai, ogni mese ogni coppia di adulti produce una coppia mista di coniglietti che maturano il mese successivo). Si è reso conto che il numero di coppie adulte in un dato mese è il numero totale di conigli (sia adulti che piccoli) del mese precedente. Scrivendo per il numero di coppie di adulti nel mese e per il numero totale di coppie nel mese, si ottiene