I frattali spiegati ai bambini

I frattali in natura

Benoit B.[n 1] Mandelbrot[n 2] (20 novembre 1924 - 14 ottobre 2010) è stato un matematico e polimatico franco-americano di origine polacca con ampi interessi nelle scienze pratiche, in particolare per quanto riguarda ciò che ha definito "l'arte della rugosità" dei fenomeni fisici e "l'elemento incontrollato della vita". [5][6][7] Si definiva un "frattalista"[8] ed è riconosciuto per il suo contributo al campo della geometria frattale, che comprendeva il conio della parola "frattale" e lo sviluppo di una teoria della "rugosità e autosimilarità" in natura.[9]

Nel 1936, all'età di 11 anni, Mandelbrot e la sua famiglia emigrarono da Varsavia, in Polonia, in Francia. Dopo la fine della seconda guerra mondiale, Mandelbrot ha studiato matematica, laureandosi presso le università di Parigi e degli Stati Uniti e ottenendo un master in aeronautica presso il California Institute of Technology. Ha trascorso la maggior parte della sua carriera sia negli Stati Uniti che in Francia, avendo la doppia cittadinanza francese e americana. Nel 1958 ha iniziato una carriera di 35 anni all'IBM, dove è diventato IBM Fellow, e ha preso periodicamente dei permessi per insegnare all'Università di Harvard. Ad Harvard, dopo la pubblicazione del suo studio sui mercati delle materie prime statunitensi in relazione ai futures del cotone, ha insegnato economia e scienze applicate.

Immagini frattali

SpecchiAvete mai guardato uno specchio con un altro specchio? Vi siete mai seduti tra due specchi a tutta parete? Ogni specchio riflette il riflesso dell'altro specchio. Quindi, vedete la stessa cosa più e più volte in dimensioni diverse. Giusto? In realtà è molto interessante!

FrattaliUn frattale è un modello infinito. I modelli utilizzati nei frattali possono essere di dimensioni e direzioni diverse, ma lo schema viene utilizzato in continuazione per creare un modello continuo. Che bello! Come vedete nello specchio mostrato, c'è un'immagine di una donna che cammina lungo il corridoio e un suo riflesso all'interno dello specchio. Poi, c'è un riflesso più piccolo di una donna che cammina per il corridoio e un riflesso di questo all'interno dello specchio. Questo sembra continuare all'infinito. Lo schema sembra non finire mai! Triangolo di Sierpinski

Avete mai sentito parlare del triangolo di Sierpinski? Questo triangolo sembra contenere tanti piccoli triangoli! Questa interessante figura a tre lati utilizza la stessa forma più volte in uno schema apparentemente infinito al suo interno. Se ci fate caso, c'è un triangolo grande (quello giallo) che è stato diviso in quattro triangoli più piccoli (quelli rossi). Poi alcuni di questi triangoli rossi sono stati divisi in quattro triangoli più piccoli (quelli blu). Questo schema continua! I frattali in natura

I frattali in natura

La curva di Koch è un semplice esempio di frattale. Innanzitutto, si parte da una parte di una linea retta, chiamata segmento di linea retta. Tagliate la linea in 3 pezzi della stessa dimensione. Eliminiamo la parte centrale di questi pezzi e inseriamo la parte superiore di un triangolo con i lati della stessa lunghezza del pezzo da tagliare. Ora abbiamo 4 segmenti di retta che si toccano alle estremità. Ora possiamo fare ciò che abbiamo appena fatto con il primo segmento per ciascuno dei 4 bit. Ora possiamo ripetere la stessa operazione su tutti i bit che abbiamo ottenuto. Ora facciamo questa operazione all'infinito e guardiamo cosa otteniamo.

La lunghezza della curva di Koch è infinita e l'area della curva di Koch è zero. Questo è piuttosto strano. Un segmento di linea (con dimensione 1) può avere lunghezza 1, ma area 0. Un quadrato di lunghezza 1 e larghezza 1 (con dimensione 2) avrà area 1 e lunghezza infinita.

Quindi, la Curva di Koch sembra essere più grande di qualcosa di dimensione 1, e più piccola di qualcosa di dimensione 2. L'idea della dimensione di somiglianza è di fornire una dimensione che dia un'idea migliore della lunghezza o dell'area dei frattali. Quindi, per una Curva di Koch, vogliamo una dimensione tra 1 e 2.

I frattali in geometria

Poiché appaiono simili a tutti i livelli di ingrandimento, i frattali sono spesso considerati "infinitamente complessi". Esempi evidenti sono le nuvole, le catene montuose e i fulmini. Tuttavia, non tutti gli oggetti autosimili sono frattali: ad esempio, la linea reale (una linea euclidea retta) è formalmente autosimile, ma non presenta altre caratteristiche frattali.

Un fiocco di neve di Koch è il limite di una costruzione infinita che parte da un triangolo e sostituisce ricorsivamente ogni segmento di linea con una serie di quattro segmenti di linea che formano una "protuberanza" triangolare. Ogni volta che vengono aggiunti nuovi triangoli (un'iterazione), il perimetro di questa forma cresce di un fattore 4/3 e quindi diverge all'infinito con il numero di iterazioni. La lunghezza del perimetro del fiocco di neve di Koch è quindi infinita, mentre la sua area rimane finita. Per questo motivo, il fiocco di neve di Koch e costruzioni simili sono state talvolta chiamate "curve mostro".

Una classe relativamente semplice di esempi è data dagli insiemi di Cantor, dal triangolo e dal tappeto di Sierpinski, dalla spugna di Menger, dalla curva del drago, dalla curva di riempimento dello spazio e dalla curva di Koch. Altri esempi di frattali sono il frattale di Lyapunov e gli insiemi limite dei gruppi kleiniani. I frattali possono essere deterministici (tutti quelli sopra citati) o stocastici (cioè non deterministici). Ad esempio, le traiettorie del moto browniano nel piano hanno dimensione Hausdorff 2. I sistemi dinamici caotici sono talvolta associati ai frattali. Gli oggetti nello spazio delle fasi di un sistema dinamico possono essere frattali (vedi attrattore). Anche gli oggetti nello spazio dei parametri di una famiglia di sistemi possono essere frattali. Un esempio interessante è l'insieme di Mandelbrot. Questo insieme contiene dischi interi, quindi ha una dimensione di Hausdorff pari alla sua dimensione topologica di 2. Ma ciò che è davvero sorprendente è che anche il confine dell'insieme di Mandelbrot ha una dimensione di Hausdorff di 2 (mentre la dimensione topologica di 1), un risultato dimostrato da M. Shishikura nel 1991. Un frattale strettamente correlato è l'insieme di Julia. Dimensione di autosimilarità